乘法公式

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乘法公式是一種與乘法有關的數學公式，能加快運算速度。

分配律

主條目：分配律

分配律，與交換律、結合律並列為小學常用公式。

• <math>(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd</math>

和平方

和平方，解釋為和的平方公式。

• <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math>

使用分配律的算法是：

• <math>(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2</math>

多項式的算法：

• <math>(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca</math>

請注意，<math>(a+b)^2\ne a^2+b^2</math>

例子

例如一個邊長為101公分的正方形：

• <math>101^2=(100+1)^2=100^2+2\times100\times1+1^2=10000+200+1=10201</math>

差平方

差平方，解釋為差的平方公式。

• <math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2</math>

使用和平方的算法是：

• <math>(a-b)^2=[a+(-b)]^2=a^2+2\times a\times(-b)+(-b)^2=a^2+(-2ab)+b^2=a^2-2ab+b^2</math>

多項式的算法：

• <math>(a-b-c)^2=a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ca</math>

請注意：

1. <math>(a-b)^2\ne a^2-b^2</math>
2. <math>(a-b)^2\ne a^2-2ab-b^2</math>
3. <math>(a-b)^2=(b-a)^2</math>，亦指(a-b)^偶數=(b-a)^偶數
4. <math>(a-b)^1\ne(b-a)^1</math>，亦指(a-b)^奇數≠(b-a)^奇數

例子

例如一個邊長為99公分的正方形：

• <math>99^2=(100-1)^2=100^2-2\times100\times1+1^2=10000-200+1=9801</math>

平方差

平方差，解釋為平方的差公式。

• <math>(a+b)(a-b)=a^2-b^2</math>
• <math>a\times b=[(a+b)\div2+ c][(a+b)\div2- c]=[(a+b)\div2]^2-c^2</math>，但此公式必須要<math>(a+b)\div2</math>是整數才能成立。

例子

• <math>(2+1)(2-1)=2^2-1^2</math>
• <math>10.6\times 9.4=[(10.6+9.4)\div2+0.4][(10.6+9.4)\div2-0.4]=10^2-0.4^2=99.84</math>

特殊公式

1. • <math>1^2+1=2^2-2</math>
   • <math>2^2+2=3^2-3</math>
   • <math>3^2+3=4^2-4</math>
   • <math>99^2+99=100^2-100</math>
   • 題型：<math>1123^2+1123+2248+1125=a^2</math>，求a=？
2. • <math>1=1^2</math>
   • <math>1+2+1=2^2</math>
   • <math>1+2+3+2+1=3^2</math>
   • 題型：<math>12+13+...+88+89+88+...+12+11=</math>？
3. • <math>(a+b)^2-(a-b)^2=4ab</math>
   • <math>(a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2)</math>

參考文獻

書目

• 《國中數學2上》，南一出版

外部連結

• 中文數學百科-乘法公式
• 維基筆記-乘法公式
• 中文維基教科書-乘法公式