一元二次方程式

一元二次方程式是一个只有一个未知数、最高次数是二次的方程式，基本的公式为 <math>ax^2+bx+c=0</math>。

其中，<math>ax^2</math>是二次项，<math>bx</math>是一次项，<math>c</math>是常数项。<math>a \ne 0</math>是一个重要条件，否则该式的最高次数就不会是二次。当然，一元二次方程式的解有时会出现“无实根”的情况。

解方程式

因式分解

使用因式分解来解一元二次方程式的重要关键是：若 ab=0 ，则 a=0 或 b=0 。

• 没有常数项：
  1. <math>x^2+7x=0</math>
  2. <math>\Rightarrow x(x+7)=0</math> (提出公因式)
  3. <math>\Rightarrow x=0 , x+7=0</math> (若 ab=0 ，则 a=0 或 b=0)
  4. <math>\Rightarrow x=0 ,-7</math>
• 没有一次项：
  1. <math>x^2-25=0</math>
  2. <math>\Rightarrow x^2=25</math> (移常数项)
  3. <math>\Rightarrow \sqrt{x^2}=\sqrt{25}</math> (两边各开根号)
  4. <math>\Rightarrow x=5,-5</math>
• 完整式：
  1. <math>x^2-46x+480=0</math>
  2. <math>\Rightarrow (x-16)(x-30)=0</math> (使用十字交乘法)
  3. <math>\Rightarrow x-16=0 , x-30=0</math> (若 ab=0 ，则 a=0 或 b=0)
  4. <math>\Rightarrow x=16,30</math>
• 完整式 (完全平方式)：
  1. <math>x^2-10x+25=0</math>
  2. <math>\Rightarrow (x-5)^2=0</math>
  3. <math>\Rightarrow x=5,5</math>

配完全平方式

参见：一元二次多项式的配方法

配完全平方式，简称配方法，是把一元二次方程式使用等量公理的方式配成完全平方式的过程。

简单来说就是像这样的式子，其中“一次项系数一半的平方”是指一次项系数除2再平方，如一次项系数是4，那就是要两边同加上<math>(4\div2)^2</math>才能配方。

1. <math>x^2+2x-3=0</math>
2. <math>\Rightarrow x^2+2x+1=3+1</math> (移常数项、两边同加“一次项系数一半的平方”)
3. <math>\Rightarrow \sqrt{(x+1)^2}=\sqrt{4}</math> (等号左边配方、两边同开根号)
4. <math>\Rightarrow x+1=2</math>
5. <math>\Rightarrow x=1</math>

公式解

把二次项系数当作a、一次项系数当b、常数项当c，并代入<math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>以求解。

证明

• 1. <math>ax^2+bx+c=0</math>
  2. <math>\Rightarrow x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0</math> (两边同除a)
  3. <math>\Rightarrow x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}</math> (移常数项)
  4. <math>\Rightarrow x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2</math> (两边同加“一次项系数一半的平方”)
  5. <math>\Rightarrow (x+\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2</math> (等号左边配方)
  6. <math>\Rightarrow (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}</math> (等号右边通分)
  7. <math>\Rightarrow x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>

参考文献

书目

• 《国中数学2上》，南一出版，2012年8月版

外部链接

• 中文维基教科书-一元二次方程式
• 中文数学百科-一元二次方程式
• 维基笔记-一元二次方程式