一元二次方程式

一元二次方程式是一個只有一個未知數、最高次數是二次的方程式，基本的公式為 <math>ax^2+bx+c=0</math>。

其中，<math>ax^2</math>是二次項，<math>bx</math>是一次項，<math>c</math>是常數項。<math>a \ne 0</math>是一個重要條件，否則該式的最高次數就不會是二次。當然，一元二次方程式的解有時會出現「無實根」的情況。

解方程式

因式分解

使用因式分解來解一元二次方程式的重要關鍵是：若 ab=0 ，則 a=0 或 b=0 。

• 沒有常數項：
  1. <math>x^2+7x=0</math>
  2. <math>\Rightarrow x(x+7)=0</math> (提出公因式)
  3. <math>\Rightarrow x=0 , x+7=0</math> (若 ab=0 ，則 a=0 或 b=0)
  4. <math>\Rightarrow x=0 ,-7</math>
• 沒有一次項：
  1. <math>x^2-25=0</math>
  2. <math>\Rightarrow x^2=25</math> (移常數項)
  3. <math>\Rightarrow \sqrt{x^2}=\sqrt{25}</math> (兩邊各開根號)
  4. <math>\Rightarrow x=5,-5</math>
• 完整式：
  1. <math>x^2-46x+480=0</math>
  2. <math>\Rightarrow (x-16)(x-30)=0</math> (使用十字交乘法)
  3. <math>\Rightarrow x-16=0 , x-30=0</math> (若 ab=0 ，則 a=0 或 b=0)
  4. <math>\Rightarrow x=16,30</math>
• 完整式 (完全平方式)：
  1. <math>x^2-10x+25=0</math>
  2. <math>\Rightarrow (x-5)^2=0</math>
  3. <math>\Rightarrow x=5,5</math>

配完全平方式

參見：一元二次多項式的配方法

配完全平方式，簡稱配方法，是把一元二次方程式使用等量公理的方式配成完全平方式的過程。

簡單來說就是像這樣的式子，其中「一次項係數一半的平方」是指一次項係數除2再平方，如一次項係數是4，那就是要兩邊同加上<math>(4\div2)^2</math>才能配方。

1. <math>x^2+2x-3=0</math>
2. <math>\Rightarrow x^2+2x+1=3+1</math> (移常數項、兩邊同加「一次項係數一半的平方」)
3. <math>\Rightarrow \sqrt{(x+1)^2}=\sqrt{4}</math> (等號左邊配方、兩邊同開根號)
4. <math>\Rightarrow x+1=2</math>
5. <math>\Rightarrow x=1</math>

公式解

把二次項係數當作a、一次項係數當b、常數項當c，並代入<math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>以求解。

證明

• 1. <math>ax^2+bx+c=0</math>
  2. <math>\Rightarrow x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0</math> (兩邊同除a)
  3. <math>\Rightarrow x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}</math> (移常數項)
  4. <math>\Rightarrow x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2</math> (兩邊同加「一次項係數一半的平方」)
  5. <math>\Rightarrow (x+\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2</math> (等號左邊配方)
  6. <math>\Rightarrow (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}</math> (等號右邊通分)
  7. <math>\Rightarrow x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>

參考文獻

書目

• 《國中數學2上》，南一出版，2012年8月版

外部連結

• 中文維基教科書-一元二次方程式
• 中文數學百科-一元二次方程式
• 維基筆記-一元二次方程式